Linear Algebra
- Closure : 우리가 갖고있는 것을 조합(더하고 곱해서)하여 만들 수있는 것들
- Homogeneous solution : Ax = 0의 해를 구하는 방정식
- row echelon form : 행사다리꼴
- pivot : 맨 처음 나오는 0이 아닌 수
- pivot 값 = basic variable, pivot을 가진 column을 pivot column, 이외를 free column, 그 곳의 값들을 free varialbe
- 가우시안 소거법(elimination) : row 별로 곱하고 더해서 해를 찾는 내가 아는 그 방법
- group : Closure of G on ⊗, 결합법칙, 항등원(1 곱하는거), 역원
- 교환법칙까지 성립하면 abelian group
- group은 내적 연산(벡터끼리만), vector space는 외적 연산(스칼라와의 곱)까지 포함
* 내/외적곱과 관계없음
- vector space
- basis(기저) : vector space의 모든 벡터를 덧/곱셈으로 표현할 수 있는 벡터 집합
* 서로 독립인 vector들!
- trivial solution : 자명한 값
* non trivial : 자명하지않은 값
- vector는 linearly dependent 또는 lineary independent 하며, 다른 옵션은 없음
* 종속이면 겹치는/같은 평면에 있는, 독립이면 서로 겹쳐지지않는
- vector space V를 span하는 가장 작은 A를 basis(기저)(minimal generating set)
* span : generating set에 속하는 벡터의 집합. ## 벡터를 늘린다! 만들 수 있는 벡터들(점, 선, 면 등등)
** generating set : A의 벡터가 V의 모든 벡터를 표현할 수 있을때
*** column space는 column vector들이 span하는 space다. ## column을 늘려서 만들 수 있는 벡터들(= space)
- Linear independent : linear combination = 0에서 계수들이 0밖에 안될때.(0 이외의 값 존재하면 dependent)
## null space $\neq$ column space. null space : Ax=0을 만족하는 x의 값들.
- Linear mapping(선형 사상) : 벡터공간 V에서 W로 벡터 공간을 보존하면서 변환. 변환
* $\phi$ (x + y) = $\phi$(x) + $\phi$(y)
- 아래 것이 자세히 무엇인지는 나중에 알아보자...
- 단사(Injective) : 일대일 대응 만족. 전사(Surjective) : 치역과 공역이 같음. 전단사(Bijective) : 전사와 단사를 모두 만족
- Isomorphism(동형사상): 사상 Φ:V→W 가 전단사 선형(bijective linear)이다.
* V에서의 vector addition과 scalar multiplication은 W의 연산으로 완전히 전환되어 계산할 수 있다
Endomorphism(자기사상): 사상 Φ:V→V 가 선형(linear)이며 정의역과 공역이 같다.
* 시작과 끝이 같다 (정의역=공역)
Automorphism(자기동형사상): 사상 Φ:V→V 가 전단사 선형(bijective linear)이며, 정의역과 공역이 같다.
Identity Automorphism(항등사상), idV : 사상 Φ:V→V에 대해 Φ(x)=x
- 라면, 와 W 는 isomorphic
- affine subspace
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